Matematiğin de Sınırları Var

[MuminOKAN]

' Yanıldım, gemiyi kaçırdım'
John von Neumann

19. yüzyılın ortalarından itibaren, matematiğin temelleri, matematiğin hangi yolla yapılması gerektiği, matematiksel nesnelerin ne olduğu konuları sorgulanmaya başlandı. Matematiğin mutlak doğru, değişmeyen, tutarlı ve tam olduğu düşüncecinin herkes tarafından kabul edilmesine rağmen bazen ortaya bir türlü cevap bulamayan sorunlar çıkıyordu. Örneğin George Cantor'un mükemmel gibi görünen kümeler kuramını Bertrand Russell'ın meşhur paradoksu sarsmıştı. Bu paradoksta Bertrand Russell: 'Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun, "Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?". Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır.' diyordu.


Artık matematiğin belli temellere oturtulması gerektiğine inanan Alman matematikçi Hilbert 20. yüzyılın başlarından itibaren matematiğin tümünü bütün akıl yürütmeleri ve sonuç çıkarmaları biçimselleştirmeyi önerdi ve bu yolda çalıştı. Eğer kusursuz gibi görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntılı ya da çelişkili sonuçlara ( paradokslarda olduğu gibi ) ulaşıyorsak çözüm için sembolik mantık kullanılmalıdır. Yapay bir dil oluşturarak bu dille daha kolay ve dikkatli düşünülebilir. Böyle düşünen Hilbert önce aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı. Sembolik mantığı da kullanarak bir önermenin ya tamamıyla doğru ya da tamamıyla yanlış, ikisinin arasında bir şey olmadığını, biçimsel aksiyomatik sistem içerisinde formüle edilen bir ispatın mutlak olarak açık ve tamamıyla pürüzsüz olması gerektiğini vurguladı. Başka bir deyişle Hilbert, oyunun kuralları, tanımlar, temel kavramlar, gramer ve dil-oyunun bütün kuralları-konusunda tamamıyla net olmalıyız ki matematiğin nasıl yapılacağı üzerinde uzlaşabilelim diyordu. Pratikte, bu
tür bir biçimsel aksiyomatik sistemi kullanmak çok zahmetli bir iş olacaktır, fakat bu sistem felsefi olarak önemlidir. Çünkü böylece matematiksel akıl yürütmenin herhangi bir parçasının bütün sorularının doğruluğu bir defada çözülecektir. Hilbert bir aksiyomlar kümesine ve bu biçimsel dile sahip olmayı önerdi. Bu biçimsel sistem, hepimizin üzerinde anlaşabileceği ve bütün matematiksel akıl yürütmeleri içerecek mükemmel bir sistem olacaktı! Bundan sonra oyunun bütün kurallarını bilecektik.

Hilbert'in Matematiğin tümünü biçimselleştirme çabası ve böylece tüm matematikçilerin görüş ayrılığı yaşamadan çalışma yapma şansı maalesef boşa çıkmıştır. Hilbert'in planının işlemesi ve daha kötüsü işleyebilir hale getirilmesi bile imkânsızdır.

Bu sonuca 1931 yılında ulaşıp ortalığı sarsan ve Hilbert'e en mutsuz ve şaşkın günleri yaşatan kişi Kurt Gödel'dir. Gödel bir sistemin tutarlı olup olmadığının o sistem içinde kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Şunu söylüyordu: Herhangi tutarlı aksiyomlar kümesi verildiğinde bu kümenin içinden türetilemeyecek doğru aritmetiksel önermeler vardır. Bu sonuç, matematiğin tutarlı olduğunun kanıtlanamayacağının kanıtıydı. Dolayısıyla, kendi içinde kapalı bir sistem oluşturduğu sanılan Hilbert formalizminin çöküşü anlamına geliyordu. O zamana kadar kimse Hilbert'in yanılmış olabileceğini düşünmüyordu. Ancak Gödel'in kanıtı ile anlaşıldı ki içinde bir şeyin doğru olup olmadığını duru ve açık kılacak, bütün matematiksel gerçekliği kapsayacak, bir kurallar kümesi üzerine anlaşıp matematiğin tümü için biçimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol yoktur! Böylece Gödel, Hilbert'in sonuçlarının ulaşılmaz olduğunu göstermiştir.
Gödel'in ulaştığı sonuçların önemi, henüz tümüyle anlaşılamamışsa da çok geniş kapsamlı olduğu bilinmektedir. Bu sonuçlar matematiksel felsefeye yön vermiş, yeni sorular ortaya çıkarmış ve bu sorulara cevap veren yeni sonuçlar doğurmuştur. Fakat bilinmesi gerekenler her zaman var olacaktır. Belki bu da Gödel sonuçlarının bir yorumudur.

Hakan PARLAK

-alıntıdır-
[url=http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/biliyormusunuz.htm] kaynak link