Kare şeklinde daire

[bluemoon24]

Bununla ilgili bir soruyu şu anda hatırlamadığım bir yerde görmüştüm, her ne kadar soru orijinalde Tanrı kare şeklinde bir daire yaratabilir mi? şeklinde din felsefesini ilgilendiren bir soru olsa da, ben tabii ki soruyu bir matematik sorusu gibi algıladım ve çok ilgimi çekti, ve sonuç olarak çözmeyi yani kare şeklinde bir daire olabileceğini göstermeyi denedim. Çıkan sonucu sizinle de paylaşmak istiyorum. Aslında çözüm oldukça basit. Öncelikle kare şeklinde olmakla kare olmak mantıksal olarak aynı mıdır düşünmek gerekli. İkinci önemli nokta da yüzey faktörü. Örneğin düzgün bir yüzeyde üçgenin iç açıları toplamı 180° iken, küresel bir yüzeyde bunu 270°'ye kadar çıkarmak mümkün olabiliyor. Demek ki, istediğimiz gibi bir yüzey tanımlayabilirsek, problemi çözmek mümkün olabilir.



Peki gerçekten kare şeklinde daire çizmek mümkün olabilir mi? Bir matematikçi için evet; eğer yanlışım yoksa olabilir.



Şimdi elimize kare şeklinde yeterince kalın bir tahta parçası alıp merkez noktasını işaretliyoruz. Daha sonra karenin herhangi bir kenarını (örneğin üst kenarını) seçiyoruz. Karenin kenar uzunluğunun 10 cm olduğunu düşünürsek; üst kenarın orta noktasının merkeze uzaklığı 5cm, üst kenarın solundaki köşegenin merkeze uzaklığı ise 5√2 cm yani yaklaşık 7,071 cm'dir. Şimdi merkeze O, üst kenarın orta noktasına da K noktası diyelim. |OK|=5 cm. OK doğru parçasının orta noktasına da P diyelim. (Hatta işi kökten çözelim; sol üst köşe A, üst kenarın ortası K, sağ üst köşe B, sağ kenarın ortası L, sağ alt köşe C, alt kenarın ortası M, sol alt köşe D, sol kenarın ortası N olmak üzere OK'nın orta noktası P, OL'nin orta noktası Q, OM'nin orta noktası R, ON'nin orta noktası da S olsun. (Siz de harfleri karıştırmamak için sözkonusu kareyi bir kağıda çizebilirsiniz.))



Tahtamız yeterimce kalındı, bunu göz önüne alarak KM doğru parçasını çizip, oradan tahtayı ikiye kestiğimizi düşünelim ama gerçekte kesmeyelim. Eğer kesmiş olsaydık AKMD ve KBCM dikdörtgenlerine sahip olacaktık. Şimdi AKMD dikdörtgenini göz önüne alalım. Bu dikdörtgen üzerindeki NO doğru parçasını işaretleyip, bunu da kestiğimizi kabul edelim. Elimizde AKON ve NOMD kareleri kaldı. Şimdi AKON karesini göz önüne alalım.



AKON'un yeterince kalın bir tahta parçası olduğunu unutmayalım. diyelim ki kalınlığı 3 cm olsun. KO kenarının kesitine bakalım, yani şöyle diyelim; O=(0,0,0), K=(0,5,0) noktası olsun. Bu durumda P=(0;2.5;0) orta noktasıdır. Üçüncü koordinatları z ekseni olarak aldım, buna göre tahta yüzeyi z=0'dır. P noktasından z eksenine dik olarak aşağıya, yani tahtanın alt tabanına doğru inelim. Buradaki noktaya F diyelim. F=(0;2.5,-3) olur. Benzer şekilde O'nun uzantısı E=(0,0,-3), K'ninki de G=(0,5,-3) olsun. OKGE kesit üzerinde bir dikdörtgendir, yani x eksenine diktir.



O, P ve K z=0, E, F ve G z=-3 üzerinde noktalardır. Şimdi FP doğru parçasının z=-2,5 üzerindeki noktası W olsun. OW ve WK doğru parçalarını çizelim. |OW|=|WX|=2,5√2 cm olduğu açıktır.



Şimdi yaptığımız hayali kesmelerin hepsini iptal edip kazıma işlemine başlıyoruz. Elimizde yeniden ABCD tahta karemiz var. KP arasını, tahtanın içindeki KW doğru parçasını elde edecek şekilde kazıyalım. OP'yi de OW'yi elde edecek şekilde kazıyalım. Uzunluklar yüzeye göre hesaplandığından, artık O noktasıyla K noktası arasındaki uzaklık yüzey üzerinde 5√2 cm olmuştur.



Sanırım mantık anlaşıldı. AB kenarı üzerindeki her X noktası için OX arasını, yüzey üzerinde, |OX|=5√2 cm olacak şekilde iki parça halinde kazıyoruz. Aynı kazımayı sonra diğer 3 kenar için de yapıyoruz. Kazınmayan yerlerin yalnızca kenarlar, köşegenler ve O noktası olduğuna dikkat edelim.



Sonuç olarak. bu yüzeyde O noktasına 5√2 cm uzaklıkta veya daha yakın olan bütün noktaların kümesini, yani tanım gereği yarıçapı 5√2 cm olan daireyi çizmek istersek, bu dairenin ABCD karesi olduğunu göreceğiz. Artık elimizde kare şeklinde bir daire vardır.