Geometrik ve harnonik integral
 

Bildiğimiz gibi { 1/(b-a) çarpı a'dan b'ye integral f(x)dx } değeri f fonksiyonun [a,b] aralığındaki aritmetik ortalamasıdır. Yine bilindiği gibi integral [a,b] aralığının parçalara ayrılması ile limit formunda ortaya çıkan bir kavramdır. Örneğin kolaylık olması açısından; [0,1] aralığında 1. adımda 0 ve 1/2 noktalarını seçeriz ve [f(0)+f(1/2)]/2 aritmetik ortalama değerini elde ederiz. 2. adımda 4 noktanın [f(0)+f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)]/4 aritmetik ortalamasını, 3. adımda benzer şekilde 8 noktanın [f(0)+f(1/8 +f(1/4)+f(3/8 )+f(1/2)+f(5/8 )+f(3/4)+f(7/8 )]/8 aritmetik ortalamasını alırız. Tabii ki bunlar limite gidince de [0,1] aralığında f'in aritmetik ortalaması olur, sonsuz noktanın ortalamasından bahsedildiğinden de nokta sayısı değil, aralık uzunluğu olan 1 göz önüne alınır.



Uzun süredir merak ettiğim şey, integral kavramının aritmetik oralamayla değil de başka çeşit bir ortalamayla, örneğin en ünlüleri olan geometrik veya harmonik ortalamayla kurulmasında sonucun ne olacağı.



Öncelikle geometrik ortalama için durumu inceleyelim. Bu durumda bazı sınırlamalarımız var. Fonksiyonumuz pozitif tanımlı olmalı; aksi takdirde geometrik ortalamadan bahsedilemez. Bunun için örneğin f(x)=e^x fonksiyonu uygun bir denek olabilir. İntegral aralığımız da [0,1] olsun. Şimdi f(x)'in x'e göre 0'dan 1'e kadar geometrik integralini almaya çalışacağız. a ile b'nin geometrik ortalamasının Kök{ab}, a, b ve c'nin geometrik ortalamasının (3.dereceden kök){abc}, genel olarak a_1,a_2,...,a_n sayılarının geometrik ortalamasının da (n.inci dereceden kök) {çarpım i=1'den n'e kadar a_i} olduğunu hatırlayalım. Böylece T_n = (n.inci dereceden kök) { çarpım k=1'den n'e f(k/n) } olmak üzere Q = { lim n sonsuza giderken T_n } ise bu durumda İ=Q'dur. f(x)=e^x ise İ'nİn değeri nedir, bir arkadaş hesaplarsa memnun olacağım, zira bilgisayarımda bunu yapabileceğim bir program yok. (Burada İ = { 0'dan 1'e geometrik integral e^x olacaktır })



Şimdi de harmonik ortalama için durumu inceleyelim. Burada fonksiyon yine pozitif tanımlı olmalıdır, 0 değeri de almamalıdır. Yine e^x fonksiyonunu ve [0,1] integral aralığını göz önüne alalım. a ile b'nin harmonik ortalaması 2/[(1/a)+(1/b)], a, b, c'nin harmonik ortalaması 3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)], genel olarak a_1,a_2,...,a_n sayılarının harmonik ortalaması da n/[ toplam i=1'den n'e kadar (1/a_i) ] olur.Böylece U_n = n / { toplam k=1'den n'e kadar (1/f(k/n) } olmak üzere R = { lim n sonsuza giderken U_n } ise J=R'dir. Yine elinde program olan bir arkadaş f(x)=e^x için J değerini hesaplarsa memnun olurum. (Burada da J = { 0'dan 1'e harmonik integral e^x olacaktır })



I=1.71828183... olsun, acaba I=İ=J midir? Bunu hep merak etmişimdir, hâlâ da etmekteyim.