Dairesel hacim-alan-çevre-türev ilişkisi nasıl açıklanabilir

[bluemoon24]

Dairesel cisimlerin hacim alan ve çevreleri arasında türev ilişkisi var gibi görünüyor, bunu nasıl açıklayabiliriz?



Dairesel cisim derken; nokta, daire, küre ve üst boyuttaki benzerlerinden bahsediyorum.



r yarıçapı göstermek üzere;



Kürenin hacmi (4/3)πr³, r'ye göre türev alınınca çıkan 4πr² kürenin bir boyut alttaki değeri olan alanını veriyor.



Dairenin alanı πr², r'ye göre türevi olan 2πr bir boyut alttaki değeri olan çevresini veriyor.



Yani ilk bakışta dairesel cisimlerde V'=A, A'=Ç (V hacim, A alan, Ç çevre, (') r'ye göre türev) gibi bir ilişki varmış gibi görünmekte.



Hatta burada işi büyütüp, kürenin çevresinin 8πr, dairenin hacminin (1/3)πr³ olduğunu söyleyebiliriz. (Yine de saçma olur tabii ki.)



İşi karesel cisimlere (nokta, kare, küp) getirirsek;





Küpün hacmi a³, a'ya göre türevi 3a² alanının yarısını veriyor, onun ikinci türevi 6a da çevresinin yarısını veriyor.





Karenin alanı a², a'ya göre türevi 2a çevresinin yarısını veriyor. O halde karenin gizli hacmi a³/6 olmalı. Yani bu mantıkla her kare üç boyutta belirli bir küpü temsil ediyor.



Sonuç olarak karesel cisimlerde V'=½A, A'=½Ç.



Üçgensel cisimlerde yani nokta, eşkenar üçgen ve düzgün dörtyüzlüde benzer bir ilişki var mı bilinmez.



Bütün bunları açıklayabilecek olan var mı?