Öklid (Euclides)

[bluemoon24]

Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13

ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat

bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19.

yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik

çevrelerde okunan, okutulan Elementler'in, kimi yetersizliklerine karşın,

değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir. Egeli matematikçi Öklid'in

kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin

hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet

Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan

bir ders kitabının yazan olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü

akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında,

Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz! levhası

asılıydı.Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde

yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy, okumada güçlük çektiği Elementler'in

yazarına, Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu? diye sorduğunda,

Öklid Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur der. Bir gün

dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, Hocam, verdiğiniz ispatlar

çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar? diye sorduğunda, Öklid kapıda

bekleyen kölesini çağırır, Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa

gitmediğini görsün! demekle yetinir. Öklid haklı olarak geometrinin

babası diye bilinir; ama geometri onunla başlamış değildir. Tarihçi Herodotus

(M.Ö. 500) geometrinin başlangıcını, Nil vadisinde yıllık su taşmalarından sonra

arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalışmalarında bulmuştu.

Geometri yer ve ölçme anlamına gelen geo ve metrein sözcüklerinden

oluşan bir terimdir. Mısır'ın yanı sıra Babil, Hint ve Çin gibi eski

uygarlıklarda da gelişen geometri o dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölçme,

analoji ve sezgiye dayanan bir yığın işlem ve bulgudan ibaret çalışmalardı.

Üstelik ortaya konan bilgiler çoğunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin

çerçevesinde kalan sonuçlardı.Örneğin, Babilliler dairenin çemberini

çapının üç katı olarak biliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki;

pi'nin değerinin 3 değil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür şarlatan gözüyle

bakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.Ö. 1800 yıllarına ait

Rhind papürüslerinde onların pi'yi yaklaşık 3.1604 olarak belirledikleri

görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doğru sonuçlar ortaya koyduğu

söylenemez. Nitekim, kesik kare piramidin oylumunu (hacmini) hesaplamada doğru

formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doğru olan bir alan formülünün, tüm

dörtgenler için geçerli olduğunu sanıyorlardı. Aritmetik ve cebir

alanında Babilliler, Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli

buluşları vardı. Örneğin, Pythagoras Teoremi dediğimiz, bir dik açılı üçgende

dik kenarlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya ilişkin önerme bir dik üçgenin

dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir buluşlarından

biriydi. Ne var ki, doğru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal

ispat aşamasına geçilememişti henüz.Ege'li Filozof Thales'in (M.Ö.

624-546), geometrik önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereğini ısrarla

vurguladığı, bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir. Mısır gezisinde

tanıştığı geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, sağlam bir temele

oturtmak istiyordu. İspatladığı önermeler arasında; ikizkenar üçgenlerde taban

açılarının eşitliği; kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşıt açıların biribirine

eşitliği vb. ilişkiler vardı. Klasik çağın Yedi Bilgesinden biri olan

Thales'in açtığı bu yolda, Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik

büyük ilerlemeler kaydetti, sonuçta Elementler'de işlenildiği gibi, oldukça

soyut mantıksal bir dizgeye ulaştı. Pythagoras, matematikçiliğinin yanı sıra,

sayı mistisizmini içeren gizliliğe bağlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre;

sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliğiydi; ruhun yücelip tanrısal

kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.Buluş ve ispatlarıyla

matematiğe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar, sonunda inançlarıyla ters

düşen bir buluşla açmaza düştüler. Bu buluş, karenin kenarı ile köşegenin

ölçüştürülemeyeceğine ilişkindi. gibi,

bayağı kesir şeklinde yazılamayan sayılar, onların gözünde gizli tutulması

gereken bir skandaldi. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler

nasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına karşın üstesinden

gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus oluşturduğu,

irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan, Orantılar Kuramı'yla giderir).

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi,

onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındaki mantıksal

bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin

sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme

aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi,

bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuştu. Geometri bir önermeler

koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir

dizgeye dönüşmüştü. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme

verileriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik

kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti. Kuşkusuz bu, Öklid

geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediği demek değildi. Tam tersine,

değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle

çözümlendiği; ama Elementler'in, eğreti olarak değindiği bazı örnekler dışında,

uygulamalara yer vermediği de bilinmektedir.Öklid'in pratik kaygılardan uzak

olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir

geleneğe dönüşmüştür. Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin

gözünde, matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik,

sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu için

önemlidir. Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir.

Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin,

sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme,

değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok

psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir.

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama

sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış

önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama

yoluna gitmiştir? Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne

olduğunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne

alındığında, başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir: 1) İşlenen

konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek;2)

İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım

kurallarım belirtik kılmak; 3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal

geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel

zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış

sayamayacağımızı göstermek); 4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyim

aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım:

Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin,

dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5

uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini

gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da

yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel

motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler

üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler

için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunlukları a, b,

c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen

olabileceği genellemesine gitmektedirler). Öklid oluşturduğu dizgede

birtakım tanımların yanı sıra, beşi aksiyom dediği genel ilkeden, beşi de

postulat dediği geometriye özgü ilkeden oluşan, on öncüle yer vermiştir

(Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir).

Dizge tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım

yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle,

nokta, doğru, vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha

önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında

olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir

kusurdu.Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç

döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek

şeyler değildi. Nitekim, 18. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye

daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin

irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı

değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. Öklid-dışı diye bilinen bu

geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer

dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa,

Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez. Çağımızın

seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü bir

değerlendirmesini bulmaktayız: Elementler'e bugüne değin yazılmış en büyük

kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekâsının en yetkin

anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir,

kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini

oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık

doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19. yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı

geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da

ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir.Gene Genel

Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan

Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: Gençliğinde bu

kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım

yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!



Siyaset, Bilim Ve Tarih Bilinci (Doğan Özlem )The Benefits Of TreesEnerji TasarrufuAlternatif Ucuz Enerji KaynaklarıErozyonun Tanımı Ve ÇeşitleriDünyamızın HareketleriDoğalgazDeve KuşlarıTeknolojik CellatlarımızKüresel IsınmaÇimento İşkolu Ve SorunlarıAtmosferin Başlıca Gaz KirleticileriNükleer EnerjiYapay KristallerHyrogen Fuel  The Fuel Of FutureKentiçi Ulaşımı Ve Çevre SorunlarıPrcı HakkındaÇevre Kirliliği Ve SonuçlarıSivil SavunmaUluslararası Hukuk Ve Çevre